Representation of Floating-Point Numbers

浮動小数点数のまとめ

概要

• 限られたビットの中で小数を表現する方法の一つが浮動小数点数
• 今日の実装は処理系、言語を問わずIEEE方式(IEEE 754)が標準
• とりあえずIEEE方式の倍精度浮動小数点数(C言語のdouble)の仕組みを覚えておけばいい

 

Wikipedia

浮動小数点数 - Wikipedia
IEEE 754 - Wikipedia

IEEE 754

IEEE 754: Standard for Binary Floating-Point Arithmetic

 

ビットの表現

小数を「(符号) 基数2の指数×仮数」で表現するのが基本的な考え方。
倍精度浮動小数点数の場合、64ビットを以下の3つの部分に分けて意味を持たせる。

 

Sign (符号部, 1bit)

• 0 なら +, 1 なら - を表す

Exponent (指数部, 11bits)

• 11ビットの符号無し整数で表現できるのは 0〜2047(=2^11-1)。
• 0(全てのビットが0)と2047(全てのビットが1)は特殊な用途(後述)で使用される。
• 1〜2046の範囲を、1023 のバイアス付き整数(ゲタ履き表現)で表す。
  例えば符号無し整数の値が 1 であれば -1022、1023 であれば 0、2046 であれば 1023 を意味する。
• だいたい ±1000 と覚えておけば、ビット数を忘れても思い出しやすい
• 基数を 10 で考えると、だいたい 1e-308 〜 1e+308 の範囲を表せる

Significand (仮数部, 52bits)

• 指数部を掛け合わせる前の絶対値
• 整数部分が 1 になるように指数部を調整する(正規化)ので、整数部分の1は明らかであり表現しない。(hidden bitと呼ばれる)
• 例えば仮数が10進表記で 1.75 である場合は、2進表記だと 1.11。
  整数部分を除外して、仮数部の表現は 11000000...(以下0が続く) となる。
• 0付近のごく小さい数を表すために、非正規化表現も用意されている。
  (アンダーフローギャップを埋めるための重要な仕組み)

 

表現の種類

IEEE 754 では5種類の表現が定義されている。

s = sign (0 or 1)
q = exponent (指数部の符号無し整数表記)
c = significand (仮数部の符号無し整数表記) <=小数ではなく整数として見た場合の値

としたときの計算式と合わせて書くと以下のようになる。

種類	exponent(q)	significand(c)	表している値
ゼロ	0	0	+0, -0 (符号の区別がある)
非正規化数	0	1〜
正規化数	1〜2046	0〜
無限大	2047	0
NaN(非数)	2047	1〜	基本的に符号の区別はない (詳細はWikipedia参照)

 

実装の確認

C言語でも可能だが、手っ取り早く Python で確認してみた。
(PyPIからbitarrayをインストールする) 

	#!/usr/bin/env python
	# -*- coding: utf-8 -*-
	import struct
	from bitarray import bitarray
	def double_to_bitstring(d):
	b = bitarray()
	b.frombytes(struct.pack('!d', d))
	s = b.to01()
	return '%s %s %s' % (s[0], s[1:12], s[12:])
	def bitstring_to_double(bs):
	return struct.unpack('!d', bitarray(bs).tobytes())[0]
	def print_header():
	print(' ' * 19 + 'sign')
	print('double'.center(18) + ': v <exponent > < ' + 'significant'.center(48) + ' >')
	print('=' * 86)
	def print_double(d):
	print('%18s: ' % d + double_to_bitstring(d))
	if __name__ == '__main__':
	print_header()
	print_double(0.0)
	# 負のゼロというものも存在する
	print_double(-0.0)
	print_double(2.0)
	print_double(3.0)
	print_double(1.0)
	# 2進数の小数では有限で表現できないため、誤差が発生する
	print_double(0.1)
	# 非数
	print_double(float('nan'))
	# 無限
	print_double(float('inf'))
	print_double(float('-inf'))
	# 正規化数の限界
	print_double(2.225073858507202e-308)
	print_double(1.7976931348623157e+308)
	# 非正規化数
	print_double(2.225073858507201e-308)
	print_double(5e-324)
	# バイナリからの逆引き
	# print(bitstring_to_double('0' + '0' * 10 + '0' + '0' * 51 + '1'))
	# print(bitstring_to_double('0' + '0' * 10 + '1' + '0' * 51 + '1'))
	# print(bitstring_to_double('0' + '1' * 10 + '0' + '1' * 52))
	# print(bitstring_to_double('1' + '1' * 10 + '1' + '1' * 52))
	# print(bitstring_to_double('1' + '0' * 10 + '1' + '1' + '0' * 51))
	# print(bitstring_to_double('1' + '0' * 10 + '0' + '1' + '0' * 51))

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出力例

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

sign       double      : v <exponent > <                   significant                    > ======================================================================================                0.0: 0 00000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000               -0.0: 1 00000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000                2.0: 0 10000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000                3.0: 0 10000000000 1000000000000000000000000000000000000000000000000000                1.0: 0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000                0.1: 0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010                nan: 0 11111111111 1000000000000000000000000000000000000000000000000000                inf: 0 11111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000               -inf: 1 11111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 2.22507385851e-308: 0 00000000001 0000000000000000000000000000000000000000000000000001 1.79769313486e+308: 0 11111111110 1111111111111111111111111111111111111111111111111111 2.22507385851e-308: 0 00000000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111 4.94065645841e-324: 0 00000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000001