IVA Reading: Chapter 01, Section 05 Exercises

IVA読書会 chap01-sect05 宿題

 

No.5

イデアルの基底から左辺右辺のお互いの多項式が生成できることを示す。

$\forall q \in k[x], \\ 1\cdot(f-qg) + q\cdot g = f \\ 0\cdot(f-qg) + 1\cdot g = g$

より、 $\langle f - qg, g \rangle \supset \langle f, g \rangle$

また、

$\forall q \in k[x], \\ 1\cdot f + (-q)\cdot g = f - qg \\ 0\cdot f + 1\cdot g = g$

より、
$\langle f - qg, g \rangle \subset \langle f, g \rangle$

従って、$\forall q \in k[x], \langle f - qg, g \rangle = \langle f, g \rangle$

□




 

No.11

a)

セクション1 定理7: あらゆる定数でない多項式 $f \in \mathbb{C}[x]$ は $\mathbb{C}$ 上に根を持つ

より、
$f \text{ is nonconstant polynomial} \Rightarrow \text{deg}(f) > 0 \Rightarrow {\bf V}(f) \ne \emptyset$

対偶を取ると、
${\bf V}(f) = \emptyset \Rightarrow f \text{ is constant}$

一方、明らかに
$f \text{ is constant} \Rightarrow \text{deg}(f) = 0 \Rightarrow {\bf V}(f) = \emptyset$




従って
${\bf V}(f) = \emptyset \Leftrightarrow f \text{ is constant}$

 

b)
${\bf V}(f_1,...,f_s) \ne \emptyset$ であるならば、$f_1 = \cdots = f_s = 0$ は$x$について1個以上の解を得る。

その解の一つを $x=a$ とすれば、$f_1,...,f_s$ は全て $(x-a)$ で割り切れるため、$\text{GCD}(f_1,...,f_s) \ne 1$ ...(1)

また、$\text{GCD}(f_1,...,f_s) \ne 1$ である場合を考える。

$\text{GCD}(f_1,...,f_s) = g$ とおくと、
${\bf V}(f_1,...,f_s) = {\bf V}(\text{GCD}(f_1,...,f_s)) = {\bf V}(g)$ と書ける。
$g$ は非定数であるから前問の対偶から、${\bf V}(f_1,...,f_s) = {\bf V}(g) \ne \emptyset$ ...(2)

(1), (2) の対偶を取れば
${\bf V}(f_1,...,f_s) = \emptyset \Leftrightarrow \text{GCD}(f_1,...,f_s)=1$

c)
前問より

$\text{GCD}(f_1,...,f_s) = 1 \Rightarrow {\bf V}(f_1,...,f_s) = \emptyset$

$\text{GCD}(f_1,...,f_s) \ne 1 \Rightarrow {\bf V}(f_1,...,f_s) \text{ is nonempty}$




 

No.17

$\begin{eqnarray*} & & {\bf I}({\bf V}(x^5 - 2x^4 + 2x^2 - x, x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1)) \\ &=& {\bf I}({\bf V}(\text{GCD}(x^5 - 2x^4 + 2x^2 - x, x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1))) \\ &=& {\bf I}({\bf V}(x^4 - 2x^3 + 2x - 1)) \end{eqnarray*}$

ここで $f = x^4 - 2x^3 + 2x - 1$ とすると、Exercise 15.b より

$\begin{eqnarray*} f_{\text{red}} &=& \frac{f}{\text{GCD}(f, f')} \\ &=& \frac{x^4 - 2x^3 + 2x - 1}{\text{GCD}(x^4 - 2x^3 + 2x - 1, 4x^3 - 6x^2 + 2)} \\ &=& \frac{x^4 - 2x^3 + 2x - 1}{x^2 - 2x + 1} \\ &=& x^2 - 1 \end{eqnarray*}$

Exercise 12.b より

$\begin{eqnarray*} & & {\bf I}({\bf V}(x^5 - 2x^4 + 2x^2 - x, x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1)) \\ &=& {\bf I}({\bf V}(f)) \\ &=& \langle f_{\text{red}}\rangle \\ &=& \langle x^2 - 1 \rangle \end{eqnarray*}$