IVA Reading: Chapter 02, Section 02 Exercises

IVA読書会 chap02-sect02 宿題

 

No.2

a)

$f(x,y,z)=7x^2 y^4 z - 2x y^6 + x^2 y^2$

$\left|(2,4,1)\right|=7, \left|(1,6,0)\right|=7, \left|(2,2,0)\right|=4$

$(2,4,1) \gt _{lex} (1,6,0) \lt _{lex} (2,2,0)$

$(2,4,1) \gt _{grlex} (1,6,0) \gt _{grlex} (2,2,0)$

$(2,4,1) \lt _{grevlex} (1,6,0) \gt _{grevlex} (2,2,0)$

よって grlex 順序。

 

b)

$f(x,y,z)=x y^3 z + x y^2 z^2 + x^2 z^3$

$\left|(1,3,1)\right|=5, \left|(1,2,2)\right|=5, \left|(2,0,3)\right|=5$

$(1,3,1) \gt _{lex} (1,2,2) \lt _{lex} (2,0,3)$

$(1,3,1) \gt _{grlex} (1,2,2) \lt _{grlex} (2,0,3)$

$(1,3,1) \gt _{grevlex} (1,2,2) \gt _{grevlex} (2,0,3)$

よって grevlex 順序。

 

c)

$f(x,y,z)=x^4 y^5 z + 2x^3 y^2 z - 4x y^2 z^4$

$\left|(4,5,1)\right|=10, \left|(3,2,1)\right|=6, \left|(1,2,4)\right|=7$

$(4,5,1) \gt _{lex} (3,2,1) \gt _{lex} (1,2,4)$

$(4,5,1) \gt _{grlex} (3,2,1) \lt _{grlex} (1,2,4)$

$(4,5,1) \gt _{grevlex} (3,2,1) \lt _{grevlex} (1,2,4)$

よって lex 順序。

 

No.8

不等式 (2) によって変数の順序付けが一意となれば、

任意の線型方程式系から得られる行既約階段形も一意的に定められることとなる。