IVA Reading: Chapter 01, Section 04 Exercises

IVA読書会 chap01-sect04 宿題

 

No.5

${\bf V}(x+xy,y+xy,x^2,y^2) = {\bf V}(x, y)$ を示す

 

Exercise 3 b. から、$\langle x+xy,y+xy,x^2,y^2 \rangle = \langle x,y \rangle$ が示されたので
命題4から最初の式が求まる。

また、明らかに ${\bf V}(x+xy,y+xy,x^2,y^2) = {\bf V}(x, y) = \{(0,0)\}$。

 

No.11

$(t, t^3, t^4)$ とパラメータ化された曲線 $V \subset \mathbb{R}^3$ を考える。

a. $V$ がアフィン多様体であることを証明する

$\begin{cases} x = t \\ y = t^3 \\ z = t^4 \end{cases}$
より、
$V = {\bf V}(x-t,y-t^3,z-t^4) = {\bf V}(y - x^3, z - x^4) \subset \mathbb{R}^3$ が示される。

 

b. このねじれ3次曲線から ${\bf I}(V)$ を特定する

$V = {\bf V}(y - x^3, z - x^4) \subset \mathbb{R}^3$ について考えれば、 section04 本文中の証明と同様に
${\bf I}(V) = \langle y - x^3, z - x^4 \rangle$ を示すことができる。

 

途中式

$$\begin{eqnarray*} x^{\alpha}y^{\beta}z^{\gamma} &=& x^{\alpha}(x^3+(y-x^3))^{\beta}(x^4+(z-x^4))^{\gamma} \\ &=& x^{\alpha}(x^{3\beta}+ \text{terms involving } y - x^3)(x^{4\gamma}+ \text{terms involving } z -x^4)) \\ &=& h_1(y - x^3) + h_2(z - x^4) + x^{\alpha + 3{\beta} + 4{\gamma}} \end{eqnarray*}$$